SACATE 20 EN TRIGO: 2008

lunes, 23 de junio de 2008

SILABUS II

1.- Razones trigonometricas de angulos de cualquier magnitud
2.-Reduccion al primer cuadrante
3.-Circunferencia trigonometrica
4.-Identidades trigonometricas

EJERICIOS DE PRIMER CUADRANTE

Ejercicios sobre reducción al primer cuadrante e Identidades

5. x.sen(90º-a) tga = cos(90º-a)

6. seca cosec(90º-a)-x cotg(90º-a)= 1
7. tg(p/4)-cotg(p/4)= x
8. x = (sen 90º + tg 45º)(sen 30º + cos 90º)
9. x = sen 45º cos45º - 2 ( cos 0º + cos 60º)
10. x = tg2 45º + 4 cos2 45º + tg2 60º + 3 sec2 30º
11. x = cos2 30º - sec2 45º + 3 tg2 30º - cos 0º sen 90º
12. x = tg2 30º + cos2 60º - sen2 60º +2 tg 45º
13. (sen a + cos a)2 - 2 sena cos a = x
14. (2 cos a + 1) (2 cos a -1) - 2 cos 2a = x
17. sen 100º +sen 80º = x
18. sen 855º - sen 105 = x
19. cotg 390º - cotg 915º = x
20. sen 200º + cos 290 = x
Respuestas

5. 1
6. tga
7. tg (p/4)
8. 1
9. -1/2
10. 10
11. 0
12. 2
13. 1
14. 1
17. 2 cos 10º
18. - sen 15º
19. -2
20. 0

domingo, 22 de junio de 2008

EJERCICIOS 02

*SOL 04:

A=cos20+cos40+cos140+cos160 por propiedad se eliminan todos y queda 0
A= 0

*SOL 11:

k=cos1+cos2+cos3+....+cos178+cos179+cos180
k=cos180
k=-1

*SOL 16:

A=cosπ/11+cos3π/11+cos8π/11+cos10π/11
A=0

*SOL 17:

A=cosπ/8+cos3π/8+cos5π/8+cos7π/8
A=0

*SOL 24:

θ+β=180

E=senβ+senθ+cosβ+cos θ+tgβ+tg θ
E=senβ+senθ
E=senβ+sen(180-β)
E=senβ+senβ
E=2senβ

sábado, 21 de junio de 2008

EJERCICIOS 01

SOL 01:

k=√5 . csc0-ctg0
k=√5.√5-(-2/1)
k=5+2=7

SOL 02:

M=√13(senß-cosß)
M=√13(-2/√13- -3/√13)
M=2-3=1

SOL 03:

ctg0: 2,4=12/5=x/y

k=tg0-sec-
k=-5/-12 - 13/-12 =-18/-12 = 3/2
k= 1,5

SOL 04:

k=5.ctg0+csc0
k=-5(-4/3)+5/3
K=-20/3+5/3=-15/3= -5

SOL 05:

k=senß+sen0/cosß+cos0=
2senß/2cosß=tgß=-3a/a=-5

SOL 06:

tg0=-3/2=y/x
M=3√ 13(sen0+cos0)
M=3+√ 13(3/√ 13+-2/√ 13)
M=3+3-2
M=4

SOL 07:

ctgß=2,4=12/5=x/y

k=2senß+1/4cosß
K=2(-5/13)+1/4(-12/13)
K=-10/13+-3/13=-13/13 = -1

lunes, 16 de junio de 2008

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE

Las razones trigonométricas de cualquier ángulo se pueden relacionar siempre con las de algún ángulo del primer cuadrante. Por ejemplo, un ángulo del segundo cuadrante siempre es igual a 180º - un ángulo del primer cuadrante o 90º + un ángulo del primer cuadrante.
Del mismo modo un ángulo del tercer cuadrante será siempre 270 - un ángulo del primer cuadrante o 180 + un ángulo del primer cuadrante.
Y se repite la misma secuencia de operaciones en el cuarto cuadrante, donde siempre será 360 - un ángulo del primer cuadrante o 270 + un ángulo del primer cuadrante.
Aquí hay algunos ejemplos:

Todas las razones trigonométricas están relacionadas entre ellas, sin importar de que cuadrante sean. Hay dos operaciones que las relacionan:

Gracias a estas dos fórmulas podremos obtener las tres razones con sólo conocer una. Si por ejemplo sólo conocemos el seno de un ángulo y queremos obtener las otras dos razones pues sólo tenemos que aplicar ese dato que conocemos a la primera operación para despejar el coseno y después utilizar el resultado y el dato conocido en la segunda operación para obtener la tangente.

Jhon Silva

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES:

Partimos de las definiciones de las funciones trigonométricas en el círculo unitario, y de las coordenadas de los ángulos cuadrantales sobre este círculo

EJEMPLOS:
Calcular las siguientes razones trigonométricas (no usar calculadora):
A) sen 90o. Solución: Como sen q = y, sen 90o = 1 (la coordenada en y).

B) cot 180o. Solución: Como cot q = x/y, cot 180o = –1/0 = indefinida

C) sec 360o. Solución: Como sec q = 1/x, sec 360o = 1/1 = 1

Jhon Silva

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

Funciones trigonométricas:

Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.

Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,

Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.
Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.
Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente

Jhon Silva

lunes, 28 de abril de 2008

EJERCICIOS RESUELTOS

1) X2+Y2-4X-8Y-29=0
Hallar radio y su posicion de su centro

Tan facil es aplicamos la formula del centro:

C-(-4); -(-8) = C(2;4)
2 2

y su radio es facil con formula

r= raiz cuadrada de-42+-82-4(-29)
2

= 7

2)x2+y2-2x+y=1

x2+y2-2x+y-1=0

C -(-2) -(1)
2 2

Esto seria igual resolviendo esto a las coordenadas de su centro

= (1;-1)

pero te piden hallar la suma de las coordenadas de su centro , es decir, es igual a :

SUMATORIA: 1+(-1)= 0

Jhon Silva

sábado, 26 de abril de 2008

SILABUS

*GEOMETRIA ANALITICA:

Sistema de coordenadas rectangulares
La recta
La circunferencia
La elipse
La parabola

*RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS DE CAULQUIER MAGNITUD

SOLUCION DE LA PRACTICA Nº 1

EJERCICIOS 09 - 24 "LA RECTA"

09) HALLAR A + B SI:

l1 :ax-by=4

l2 :bx+ay=33

l1∩l2 -> p(3;2)

3a-2b=4

2a+3b=33

__________
9a-6b=12

4a+6b=66

_________

13a=78

a=6

=> 2(6)+3b=33

3b=21
b=7

* a+ b =13*

10) HALLAR K SI:

l1: kx+(k+1)y+2=0

l2: 3k-2y=4

l1┴l2 => m1.m2=-1

(-k/k+1)(3/2)=-1

3k/2k+2=1

3k=2k+2

k=2

12) HALLAR LA ECUACION DE LA RECTA:

l1: y=3x+5 ------> m1=3

P(4;-3)

l // l1 m=m1=3

y-y1=m(x-x1)

y+3=3(x-4)

y+3=3x-12

y=3x-15

13) hallar la ecuacion:

A(-3;-1) ^ B(4;3)

i) m=-1-3/-3-4=-4/7=4/7

y-y1=m(x-x1)

y-3=4/7(x-4)

7y-21=4x-16

4x-7y+5=0

15)HALLAR X+Y:

l1:3x+2y-16=0

l2:7x-5y+11=0

3x+2y=16

7x-5y=-11

___________

15x+10y=80

14x-10y=-22

____________

29x=58

x=2

=> 9(2)+2y=16

2y=10

y=5

* x+y=2+5=7*

16) HALLAR "W" SI:

l1┴l2 =>m1.m2=-1

l1:(k+2)x+2y-3=0 ------- m1= 5

l2:3x+(3-k)y+2=0 ------- m2= -1/5

m1.m2=-1

(k+2/2).(3/3-k)=-1

3k+6/6-2k=-1

3k+6=-6+2k

k=-12

*w=2m1+5m2

=2(5)+5(-1/5)

= 10-1

* w=9*

19) HALLAR X:

l1┴l2 => m1.m2=-1

(-6-2/-4-3).(-6-1/x+7)=-1

(-8/-7).(-7/x+7)=-1

8x=x+7

x=1

24)HALLAR EL AREA DEL TRIANGULO FORMADO POR "L":

i) tabular : x 0 -4

y -5 0

l:5x+4y+20=0

*S=5.4/2=10u*

juan carlos alava tacilla

lunes, 21 de abril de 2008

ECUACION GENERAL

Ecuacion General:
x2+y2+(-2h)x+(-2k)y+(h2+k2-r2)
x2+y2+Dx+Ey+F=0

C(-d ;-e)
2 2

Modifica los valores de A, B y C (deslizando los puntos verdes) hasta conseguir visualizar...
La circunferencia de centro C(1,3) y radio r=5.
La de centro C(-4,2) y radio r=1
La de centro C(0,-3) y radio r=2
La de centro C(0,0) y radio r=3
Si x²+y²+Ax+By+C=0 es la ecuación general de una circunferencia de centro C(a, b) y radio r, ¿qué relación hay entre A y a? ¿y entre B y b?
Sigue modificando los valores de A, B y C, observa los cambios e investiga:
¿Sabrías determinar las coordenadas del centro y la medida del radio de una circunferencia de ecuación x²+y²+Ax+By+C=0 , a partir de los valores de A, B y C?
¿Y la condición que han de cumplir A, B y C para que la circunferencia exista?

Jhon Silva

lunes, 14 de abril de 2008

CIRCUNFERENCIA ECUACION CANONICA

Ecuacion Canonica:
La C(0, 5) tiene por ecuación: x2 + y2 = 25. (1)
El punto A(3, 4) ÎC(0, 5) ya que:
32 + 42 = 25
De (1) se deduce que:
Lo que muestra que:
para todo x Î [-5, 5], el punto
está en la semicircunferencia superior y que
para todo x Î [-5, 5], el punto
está en la semicircunferencia inferior.
fig. 5.2

Formula:
x2+y2=r2

Jhon Silva

CIRCUNFERENCIA ECUACION ORDINARIA

Entonces:

Es decir,

Por lo tanto:
(1)
fig. 5.1.
Así que C(C(h, k); r) = {P(x, y) ÎR2/ (x – h)2 + (y – k)2 = r2} y la ecuación (1) representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r.
Si C está en el origen, h = k = 0 y la ecuación de la C(o; r) es x2 + y2 = r2.
La C(0, 5) tiene por ecuación: x2 + y2 = 25. (1)

Formula-.
(x2-h2)+(y2-k2)= r2

Jhon Silva

EJERCICIOS

1)
Pero ml = tan 135º
= - tan 45º = -1
Luego, y – 3 = - (x + 1)
ó x + y – 2 = 0 es la ecuación de la recta l.
Para la recta r se tiene: y – 3 = mr (x + 1).
Pero, mr = tang-3-3
Luego, y – 3 = 3(x + 1) ó 3x – y + 6 = 0 representa la ecuación de la recta r.

resultado: 3x – y + 6 = 0

Jhon Silva

LA CIRCUNFENRENCIA

Introducción
La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio. Así que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y radio r que denotaremos ðC(C;r) es el conjunto siguiente:
C (C; r) = {P tal que = r}

ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA
Supóngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r) .
Entonces:

Es decir,

Por lo tanto:

Así que C(C(h, k); r) = {P(x, y) ÎR2/ (x – h)2 + (y – k)2 = r2} y la ecuación (1) representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r.
Si C está en el origen, h = k = 0 y la ecuación de la C(o; r) es x2 + y2 = r2.

La C(0, 5) tiene por ecuación: x2 + y2 = 25. (1)

El punto A(3, 4) ÎC(0, 5) ya que:
32 + 42 = 25
De (1) se deduce que:
Lo que muestra que:
para todo x Î [-5, 5], el punto
está en la semicircunferencia superior y que
para todo x Î [-5, 5], el punto
está en la semicircunferencia inferior.

pierre paolo silvestre garcia

PROPIEDAD RECTAS PERPENDICULARES

Perpendicularidad
Saber si dos rectas son perpendiculares es muy fácil: Sólo tenemos que calcular sus pendientes, m y m', y multiplicarlas, si el resultado es -1, las rectas son perpendiculares.
Ángulo de dos rectas que se cortan
La forma más fácil es calcular los ángulos que forman cada una de las rectas con el eje x (esto es muy fácil: sólo tenemos que ver la pendiente de la recta y recordar que la pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x) y restarlos.

L1 perpendicular L2 m1=m2

Jhon Silva

lunes, 7 de abril de 2008

RAZONES TRIGONOMETRICAS

El triangulo ABC es un triangulo rectangulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

La tangente(abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,
Es el cociente del seno entre el coseno.

Razones Trigonométricas Recíprocas :

Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

La cosecante (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

La secante (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

La cotangente (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

juan carlos alava tacilla

LA RECTA

ECUACIÓN DE UNA RECTA.

Una línea recta se puede entender como un conjunto de puntos alineados en una única dirección.
Uno de los postulados de la geometría Euclidiana dice "para determinar una recta solo es necesario dos puntos del plano.

El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta

Ecuación principal de una recta.

EJEMPLO 1 - Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.
Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usa la información que te dan:
m = 3 y b = 10 y sustituye en la ecuación
y = 3x + 10.
La ecuación que te pide el ejercicio es y = 3x + 10.

EJEMPLO 2 - Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = - 5.
Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usa la información que te dan: m = - 5 y sustituye en la ecuación:
y = - 5x + b
Ahora tienes que buscar la b; usa el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que estas buscando. Sustituye esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estas buscando: 2 = - 5 ( 1 ) + b
Despeja la variable b en: 2 = - 5 ( 1 ) + b
2 = - 5 + b
2 + 5 = b
b = 7
Sustituye el valor de b en la ecuación que estas buscando: y = - 5x + 7
La ecuación es y = - 5x + 7.
Debes conocer los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente
Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas .

Pierre P.Silvestre Garcia

La PENDIENTE

LA PENDIENTE:

Como se halla la pendiente:

m1=Y2-Y1
X2-X1

Como L pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que
y – y1 = m1 (x – x1) (1)
representa la ecuación de dicha recta.
Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuación.

Esto es y2 – y1 =; de donde (2)
Sustituyendo (2) en (1) se obtiene
(3)
La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.

Observaciones
i. Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:

Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:
ii. Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante.

Jhon Silva

SISTEMA DE COORDENADAS

Definición: Se denomina de esta manera al sistema formado por dos rectas numéricas que se intersectan en el cero. A dicho punto se le denomina origen de coordenadas y a las rectas se les denomina ejes coordenados.

Ubicación de un punto en el plano cartesiano:

Donde:
a : es la abscisa de P
b : es la ordenada de P

Operaciones con pares ordenados:
(a ; b) + (x ; y) = (a+x ; b+y)
(a ; b) - (x ; y) = (a-x ; b-y)
n(a ; b) = (na ; nb)
(a ; b)/n = (a/n ; b/n)

Ejemplos:

(4;5) + (-3;7) = (1;12)
(-7;6) – (5;-4) = (-12;10)
5(4;3) = (20;15)
(10;15)/5 = (2;3)

Propiedad:
Si: (a ; b) = (x ; y) a = x y b = y
Ejm.
Calcular “x + y” en:
(4x - 3 ; 18) = (13 ; 2y + 8)

4x – 3 = 13 18 = 2y + 8
4x = 16 2y = 10
x = 4 y = 5
---> x + y = 9

Calcular “m - n” en:
(3m + 5 ; 7n – 1) = (m – 1 ; 3n + 7)

3m + 5 = m – 1 7n – 1 = 3n + 7
2m = -6 4n = 8
m = -3 n = 2
----> m – n = -5

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS